১×১ থেকে ৪×৪ ম্যাট্রিক্সের যোগ, গুণ, বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় বা ডিটারমিন্যান্ট নিমিষেই নির্ণয় করুন। সুস্পষ্ট ধাপগুলোর সাহায্যে নির্ভুল ফলাফল পান।
🧮 ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলেটর
ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলেটর কীভাবে ব্যবহার করবেন
একটি অপারেশন নির্বাচন করুন: যোগ (A + B), গুণ (A × B), বিপরীত (A⁻¹), অথবা নির্ণায়ক (det(A))।
ম্যাট্রিক্সের আকার (১×১ থেকে ৪×৪) নির্বাচন করুন এবং ম্যাট্রিক্স A (এবং প্রয়োজনে B)-এর জন্য মান ইনপুট করুন।
ধাপে ধাপে ব্যাখ্যাসহ ফলাফল পেতে "Calculate" বোতামে ক্লিক করুন!
ম্যাট্রিক্স অপারেশনের ব্যাখ্যা
১. যোগ (A + B)
এর কাজ: একই আকারের দুটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ উপাদানগুলো যোগ করে যোগফল বের করা।
এটি যেভাবে কাজ করে: n×n আকারের ম্যাট্রিক্স A এবং B-এর জন্য, ফলাফল C গণনা করা হয় C[i][j] = A[i][j] + B[i][j] আকারে।
উদাহরণ: 2×2 ম্যাট্রিক্স A = [[1, 2], [3, 4]] এবং B = [[5, 6], [7, 8]] হলে, ফলাফল হবে [[1+5, 2+6], [3+7, 4+8]] = [[6, 8], [10, 12]]।
উদ্দেশ্য: পদার্থবিজ্ঞান (যেমন, বল যোগ করা) বা অর্থনীতি (যেমন, বাজেট যোগ করা)-র মতো ক্ষেত্রে রাশি একত্রিত করতে ব্যবহৃত হয়।
২. গুণ (A × B)
এর কাজ: একই আকারের দুটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করে একটি নতুন ম্যাট্রিক্স তৈরি করা।
এটি যেভাবে কাজ করে: n×n আকারের ম্যাট্রিক্স A এবং B-এর ক্ষেত্রে, ফলাফল C-এর প্রতিটি উপাদান হলো A-এর একটি সারি এবং B-এর একটি কলামের ডট প্রোডাক্ট: C[i][j] = Σ(A[i][k] * B[k][j]), যেখানে k-এর মান 0 থেকে n-1 পর্যন্ত।
উদাহরণ: 2×2 ম্যাট্রিক্স A = [[1, 2], [3, 4]] এবং B = [[5, 6], [7, 8]] এর জন্য, C[0][0] = 1*5 + 2*7 = 19, C[0][1] = 1*6 + 2*8 = 22, ইত্যাদি, যার ফলে পাওয়া যায় [[19, 22], [43, 50]]।
উদ্দেশ্য: রূপান্তর (যেমন, গ্রাফিক্সে ঘূর্ণন), সমীকরণ ব্যবস্থা এবং মেশিন লার্নিং-এ ব্যবহৃত হয়।
3. বিপরীত (A⁻¹)
এর কাজ: একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করে, যেখানে A * A⁻¹ = I (আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স)।
কার্যপ্রণালী: A-এর ডিটারমিন্যান্ট (det(A)) নির্ণয় করে। যদি det(A) ≠ 0 হয়, তাহলে এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো A⁻¹ = adj(A) / det(A), যেখানে adj(A) হলো অ্যাডজুগেট (সহ-গুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ)।
উদাহরণ: A = [[4, 3], [3, 2]] (2×2) এর জন্য, det(A) = 4² - 3³ = -1। অ্যাডজুগেট হলো [[2, -3], [-3, 4]]। বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো [[2/(-1), -3/(-1)], [-3/(-1), 4/(-1)]] = [[-2, 3], [3, -4]]।
উদ্দেশ্য: রৈখিক সমীকরণ জোটের সমাধান করা (যেমন, Ax = b → x = A⁻¹b) এবং রূপান্তর বিপরীত করা।
৪. ডিটারমিন্যান্ট (det(A))
এর কাজ: এটি একটি স্কেলার মান নির্ণয় করে যা একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য, যেমন বিপরীতযোগ্যতা (invertibility), বর্ণনা করে।
যেভাবে কাজ করে:
১×১: det(A) = a11।
২×২: det(A) = a11*a22 - a12*a21।
৩×৩: প্রথম সারি বরাবর সম্প্রসারণ: det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)।
৪×৪: প্রথম সারি বরাবর ৩×৩ মাইনর ব্যবহার করে রিকার্সিভ সম্প্রসারণ।
উদাহরণ: A = [[1, 2], [3, 4]] এর জন্য, det(A) = 1*4 - 2*3 = -2।
উদ্দেশ্য: কোনো ম্যাট্রিক্স বিপরীতযোগ্য কিনা তা নির্ণয় করে (det ≠ 0), ক্ষেত্রফল/আয়তন গণনা করে (যেমন, জ্যামিতিতে), এবং আইগেনভ্যালু নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।
